Question

【題目】若無窮數列{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ， 則稱{an}具有性質P．
（1）若{an}具有性質P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；
（2）若無窮數列{bn}是等差數列，無窮數列{cn}是公比為正數的等比數列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn ， 判斷{an}是否具有性質P，并說明理由；
（3）設{bn}是無窮數列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求證：“對任意a1 ， {an}都具有性質P”的充要條件為“{bn}是常數列”．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a2=a5=2，∴a3=a6，

a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16

（2）

解：設無窮數列{bn}的公差為：d，無窮數列{cn}的公比為q，則q＞0，

b5﹣b1=4d=80，

∴d=20，∴bn=20n﹣19， =q4= ，∴q= ，∴cn=

∴an=bn+cn=20n﹣19+ ．

∵a1=a5=82，

而a2=21+27=48，a6=101 = ．a1=a5，但是a2≠a6，{an}不具有性質P

（3）

解：充分性：若{bn}是常數列，

設bn=C，則an+1=C+sinan，

若存在p，q使得ap=aq，則ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，

故{an}具有性質P．

必要性：若對于任意a1，{an}具有性質P，

則a2=b1+sina1，

設函數f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，

由f（x），g（x）圖象可得，對于任意的b1，二者圖象必有一個交點，

∴一定能找到一個a1，使得a1﹣b1=sina1，

∴a2=b1+sina1=a1，∴an=an+1，

故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn，

∴{bn}是常數列．

【解析】（1）利用已知條件通過a2=a5=2，推出a3=a6 ， a4=a7 ， 轉化求解a3即可．
（2）設無窮數列{bn}的公差為：d，無窮數列{cn}的公比為q，則q＞0，利用條件求出，d與q，求出bn ， cn得到an的表達式，推出a2≠a6 ， 說明{an}不具有性質P．
（3）充分性：若{bn}是常數列，設bn=C，通過an+1=C+sinan ， 證明ap+1=aq+1 ， 得到{an}具有性質P．
必要性：若對于任意a1 ， {an}具有性質P，得到a2=b1+sina1 ， 設函數f（x）=x﹣b1 ， g（x）=sinx，說明bn+1=bn ， 即可說明{bn}是常數列．
本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，充要條件的應用，考查分析問題解決問題的能力，邏輯思維能力，難度比較大．