Question

（本題滿分12分）已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c,曲線y=f(x)在x=1處的切線不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線的距離為，若x=時，y=f(x)有極值.

（1）求a、b、c的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求y=f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值.

Answer 1

解析:（1）由f(x)=x³+ax²+bx+c，得f^/(x)=3x²+2ax+b

當x=1時，切線的斜率為3，可得2a+b=0                        

當x=時，y=f(x)有極值，則f^/（）=0，可得4a+3b+4=0          ‚

由‚解得a=2,b=－4

設切線的方程為y=3x+m

原點到切線的距離為，

解得m=1

切線不過第四象限     m=1

由于切點的橫坐標為x=1,f（1）=4

1+a+b+c=4     c=5          ………………………………………………（6分）

由（1）可得f(x)=x³+2x²－4x+5   f^/(x)=3x²+4x－4

令f^/(x)=0得x=－2,x=

x	[－3,－2)	－2	(－2,)		(,1]
f/(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

f(x)在x=－2處取得極大值f(－2)=13,在x=處取得極小值f()=

又f(－3)=8,f(1)=4

f(x)在[－3,1]的最大值為13，最小值為.…………………………………（12分）