Question

（本題12分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面上的射影恰好是的中點，且．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）證明：設的中點為.
在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,
平面ABC.        ……………………1分
平面，
.              ……………………2分
，
∴.
，
∴平面.      ……………………3分
平面，
平面平面.                         ………………4分
解法一：（Ⅱ）連接，平面，
是直線在平面上的射影.         ………………5分
，四邊形是菱形.
.                  .                   ……………6分
（Ⅲ）過點作交于點，連接
，
平面.   .
是二面角的平面角.            …………9分
設，則，
.
. 
.   .
平面，平面，..
在中，可求.∵，∴.
∴.
.        ……………………………………10分
.
∴二面角的大小為.            ………………12分
解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設，由題意可知，.設，由，得
.
又.
.
.                                             ……………………6分
（Ⅲ）設平面的法向量為.
則
∴
.
設平面的法向量為.則
∴
.                          
.                     ……………………10分
二面角的大小為.       ………………………………12分