Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為2，M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求證在棱CC₁上找一點N使得MN⊥AB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M-AB₁-N的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考查線面平行，常用線面平行的判定定理來證明．
（Ⅱ）屬于開放性命題，考查線線垂直，可以用立體幾何中的向量法發來解決：
建立空間直角坐標系求出

MN

，

AB1

的坐標表示，讓它們的數量積為零即可；
（Ⅲ）要求空間角，我們用立體幾何中的向量方法會更簡單．要先找出二面的法向量，二面角的余弦值即是它們法向量夾角的余弦值．

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連接A₁B，交AB₁于P，則PM∥A₁C，又PM?面AB₁M，A₁C?面AB₁M，
∴A₁C∥面AB₁M．（4分）
（Ⅱ）解：取B₁C₁中點H，連接MH，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

MB

、

MA

、

MH

兩兩垂直，故分別以

MB

、

MA

、

MH

為x、y、z軸，建立如圖空間坐標系．設CN=2（0＜a＜2），則A（0，

3

，0），B₁（1，0，2），M（0，0，0），N（-1，0，a），∴

AB1

=(1，-

3

，2)，

MN

=(-1，0，a)．
由

AB1

•

MN

=(1，-

3

，2)•(-1，0，a)=0，有-1+2a=0，解得a=

1

2

，故在棱CC₁上的點N滿足CN=

1

2

，使MN⊥AB₁．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），

MA

=(0，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

1

2

)，則

MA

•

MN

=0，

MN

⊥

MA

，
又

MN

⊥

AB1

'則面AB₁M一個法向量

n1

=

MN

=(-1，0，

1

2

)．
設面AB₁N的一個法向量

n2

=(x，y，z)，

AB1

=(1，-

3

，2)，

AN

=(-1，-

3

，

1

2

)
由

AB1 • n1 =0 AN • n2 =0

即

x- 3 y+2z=0 -x- 3 y+ 1 2 z=0

，取

n2

=(-

9

5

，

3

，

12

5

)（12分）
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

9 5 + 6 5

1+ 1 4 81 25 +3+ 144 25

=

15

5

故二面角M-AB₁-N的余弦值為

15

5

．（14分）

點評：本題是考查立體幾何的題目，其中以線面平行 線面垂直常考，處理方法 常用線面平行或垂直的判定定理來證明；至于空間角的問題，我們用立體幾何中的向量方法會更簡單．此類題是高考必考題，一般為第19題，要重點掌握．