Question

（2012•東城區一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點（0，1），且離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2

2

與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，|DE|•|DF|恒為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知：b=1，因為e=

c

a

=

3

2

，且a²=b²+c²，可得a的值，進而求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），由題意可得：-2＜x₀＜2，分別寫出直線AP與直線BP的方程，再求出E、F兩點的縱坐標，即可求出|DE|•|DF|的表達式，然后利用點P在橢圓上即可得到|DE|•|DF|為定值1．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，b=1，
又因為e=

c

a

=

3

2

，且a²=b²+c²，
解得a=2，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），由題意可得：-2＜x₀＜2，
所以直線AP的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，令x=2

2

，則y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，
即|DE|=(2

2

+2)

|y0|

|x0+2|

；
同理：直線BP的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=2

2

，則y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，
即|DF|=(2

2

-2)

|y0|

|x0-2|

；
所以|DE|•|DF|=(2

2

+2)

|y0|

|x0+2|

•(2

2

-2)

|y0|

|x0-2|

=

4 y 2 0

| x 2 0 -4|

=

4 y 2 0

4- x 2 0

而

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，即4y₀²=4-x₀²，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|為定值1．

點評：本題考查了由橢圓的性質求橢圓的方程，以及直線的方程與直線與直線的交點問題，要求有較高的計算能力，是中檔題．