Question

已知橢圓C ：（a＞b＞0），直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F₁、F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C（，0），求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設P（x₀，y₀），x₀±a，則G（，），
∵IG∥F₁F₂，
∴Iy=，|F₁F₂|=2c，
∴=·|F₁F₂|·|y₀|=（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）·||，
∴2c·3=2a+2c，
∴e==，
又∵b=，
∴b=，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為+=1。
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
  ，消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²－12=0，
∴△=（8km）²－4（3+4k²）（4m²－12）＞0，
即m²＜4k²+3，
又∵x₁+x₂=－，則y₁+y₂=，
∴線段AB的中點P的坐標為（－，）， 
又線段AB的垂直平分線l′的方程為y=（x－），  
點P在直線l′上，=（），
∴4k²+6km+3=0，
∴m=（4k²+3）， 
∴＜4k²+3，  
∴k²＞，
∴k＞或k＞，
∴k的取值范圍是（－∞，）∪（，+∞）。