Question

現要圍成一面靠墻，三面用鋼筋網的長方形的籠子．
（1）現有12m長的鋼網，當籠子的邊長分別為多少時可使籠子的面積最大？
（2）若使籠子的面積為32cm²，則籠子的邊長分別為多少時可使所用鋼網總長最小？

Answer 1

分析：（1）如圖所示，設矩形的長為xm，則寬y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．于是籠子的面積S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），利用二次函數的單調性即可得出最大值；
（2）使籠子的面積為32cm²，設籠子的長為xcm，則寬為

32

x

cm．（x＞0）．所用鋼網總長l=x+

2×32

x

cm，利用基本不等式即可得出最小值．

解答：解：（1）如圖所示，設矩形的長為xm，則寬y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．
∴籠子的面積S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），
當長x=6時，可使籠子的面積最大為18m²，此時籠子的寬y=3m．
（2）使籠子的面積為32cm²，設籠子的長為xcm，則寬為

32

x

cm．（x＞0）
所用鋼網總長l=x+2×

32

x

≥2

x• 64 x

=16，當且僅當x=8，取等號．
∴當籠子的長為8cm、寬為4cm時可使所用鋼網總長l最小為16cm．
答：（1）當籠子的長為6m，寬為3m時可使籠子的面積最大為18m²；
（2）當籠子的長為8cm、寬為4cm時可使所用鋼網總長l最小為16cm．

點評：本題考查了二次函數的單調性、基本不等式的性質及其應用，屬于中檔題．