Question

已知a＞0，函數f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當a=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）當a∈（0，3）時，求函數y=f（x）在閉區間[1，2]上的最小值；
（3）試討論函數y=f（x）的圖象與直線y=a的交點個數．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得結果；
（2）去絕對值符號，f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，對a分情況討論，0＜a≤1時，函數y=f（x）在區間[1，2]上遞增，求出函數的最小值；當1＜a≤2時，f（x）_min=f（a）=1；
當2＜a＜3時，x≤2＜a，數f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0時，求出函數在各段上的函數的最值和單調性，即可對a進行分類討論，即可求得結果．

解答：解：（1）當a=1時，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，
1°．當0＜a≤1時，x≥1≥a，這時，f（x）=x²-ax+1，對稱軸x=

a

2

≤

1

2

＜1，
所以函數y=f（x）在區間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．當1＜a≤2時，x=a時函數f（x）_min=f（a）=1；
3°．當2＜a＜3時，x≤2＜a，這時，f（x）=-x²+ax+1，對稱軸x=

a

2

∈(1，

3

2

)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函數f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因為a＞0，所以a＞

a

2

，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減．
因為f（a）=1，所以當a=1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1≥2•

a

2

•1=a，當且僅當a=2時，等號成立．
所以，當0＜a＜1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有1個交點；
當a=1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當1＜a＜2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點；
當a=2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當a＞2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點．

點評：本題考查二次函數在定區間上的最值問題和函數圖象交點個數等知識，去絕對值求出函數的解析式，并對各段函數的最值的求解是解題的關鍵，考查運算能力和分析解決問題的能力，屬難題．