Question

如果直線l：y=kx-5與圓x²+y²-2x+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關于直線2x+y=0對稱，則直線l被圓截得的弦長為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準式，求出圓心坐標和半徑，由題意得，直線l：y=kx-5與直線2x+y=0垂直，圓心（1，

m

2

）在直線2x+y=0上，求出 k、m，求出圓心到直線l的距離d，由弦長公式求得直線l被圓截得的弦長．

解答：解：圓x²+y²-2x+my-4=0  即 (x-1)2+(y+

m

2

)2= 5+

m2

4

，表示圓心為（1，

m

2

），
半徑等于

5+ m2 4

的圓． 
由題意得，直線l：y=kx-5與直線2x+y=0垂直，∴k•（-2）=-1，∴k=

1

2

，
∴直線l方程為   x-2y-10=0． 
而且圓心（1，

m

2

）在直線2x+y=0上，∴2+

m

2

=0，
∴m=-4，∴圓心（1，-2） 到直線l的距離等于 d=

|1+4-10|

1+4

=

5

，
故直線l被圓截得的弦長為 2

r2-d2

=2

(5+ m2 4 )-5

=2

(5+ 16 4 )-5

=4．
故答案為 4．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，判斷圓心（1，

m

2

）在直線2x+y=0上，
求出 m值是解題的難點．