Question

已知圓O的半徑為定長r，A是圓所在平面內一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡可能是下列圖形中的：    ．（填寫所有可能圖形的序號）
①點；②直線；③圓；④拋物線；⑤橢圓；⑥雙曲線；⑦雙曲線的一支．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，點A可能在圓的外部，可能在圓的內部（但不和點O重合）、可能和點O重合、也可能在圓上，在這四種情況下，分別求出點Q的軌跡方程，即可得到答案．
解答：解：（1）當點A為⊙O外一定點，P為⊙O上一動點，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，
則QA=QP，則QA-Q0=QP-QO=OP=r．
即動點Q到兩定點A、O的距離差為定值r＜OA，
根據雙曲線的定義，可得點Q的軌跡是：以O，A為焦點，r為實軸長的雙曲線的一支．
故⑦滿足條件．
（2）當A為⊙O內一定點，且A不與點O重合，∵P為⊙O上一動點，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，
QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的軌跡是：以O，A為焦點，r為長軸的橢圓，
故⑤滿足條件．
（3）當點A和原點O重合時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，
點Q是線段OP的中點，故有OQ==，
故Q的軌跡是：以O為圓心，以為半徑的圓，故③滿足條件．
（4）當點A在圓上時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則Q和點O重合，
故Q的軌跡是點O，為一個點，故①滿足條件．
故答案為①③⑤⑦．
點評：本題主要考查圓、橢圓、雙曲線的定義，軌跡方程的求法，體現了分類討論的數學思想，屬于難題．