Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3+x2-x，a∈R
（1）若函數 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設函數g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實數a的值；
（2）求導函數f′（x）=ax²+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點．

解答：解：（1）求導函數f′（x）=ax²+2x-1
∵函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導函數f′（x）=ax²+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即a＞

1

x2

-

2

x

在（2，+∞）上有解
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，

1

x

∈(0，

1

2

)
∴

1

x2

-

2

x

＞-

3

4

∴a＞-

3

4

∴實數a的取值范圍是(-

3

4

，+∞)
（3）函數g(x)=|f(x)-x2+x-1|+

1

3

x，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點
當x≥1時，g（x）=x3-1+

1

3

x，g′（x）=3x2+

1

3

＞0，函數g（x）單調遞增
當x＜1時，g（x）=-x3+1+

1

3

x，g′（x）=-3x2+

1

3

=-3(x+

1

3

)(x-

1

3

)
令g′（x）＞0，可得-

1

3

＜x＜

1

3

，令g′（x）＜0，可得x＜-

1

3

，或x＞

1

3

，
∴函數在(-2，-

1

3

)上單調減，（-

1

3

，

1

3

）上單調增，(

1

3

，1)上單調減，（1，2）上單調增
∴當x=-

1

3

時，g（x）取得極小值

25

27

．當x=

1

3

時，g（x）取得極大值

29

27

．g（-2）=

25

3

，g(2)=

23

3

∴

1

3

＜m＜

25

27

或

29

27

＜m＜

23

3

時，g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點，方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根
∴實數m的取值范圍為(

1

3

，

25

27

)∪ (

29

27

，

23

3

)．

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查利用導數研究函數的圖象，綜合性強．