Question

給出下列幾個命題：
①|

a

|=|

b

|是

a

=

b

的必要不充分條件；
②若A、B、C、D是不共線的四點，則

AB

=

DC

是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；
③若

a

•

b

=

a

•

c

則

b

=

c

④

a

=

b

的充要條件是

a ∥ b | a |=| b |

；
⑤若

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，則

a

，

b

的夾角為銳角的充要條件是λ∈(-∞，

1

2

)
其中，正確命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：①由

a

=

b

包含|

a

|=|

b

|和方向相同，可以得出命題正誤；
②由

AB

=

DC

可以得出四邊形ABCD為平行四邊形，由四邊形ABCD是平行四邊形，可以得出

AB

=

DC

；
③

a

•

b

=

a

•

c

不能得出

b

=

c

，消去律不成立；
④

a

=

b

包含模相等和方向相同；
⑤

a

，

b

的夾角為銳角的充要條件是

a

•

b

＞0且方向不相同，解得λ的取值范圍．

解答：解：①∵

a

=

b

⇒|

a

|=|

b

|，但是|

a

|=|

b

|⇒

a

=

b

不成立，∴命題正確；
②∵A、B、C、D四點不共線，由

AB

=

DC

得

AB

∥

DC

且|

AB

|=|

DC

|，∴四邊形ABCD為平行四邊形；
若四邊形ABCD為平行四邊形，則

AB

∥

DC

且|

AB

|=|

DC

|，且方向相同，∴

AB

=

DC

，命題正確；
③當

a

=

0

或垂直時，

a

•

b

=

a

•

c

不能得出

b

=

c

，命題錯誤；
④

a

=

b

的充要條件是

a ∥ b | a |=| b |

并且方向相同，∴命題錯誤；
⑤若

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，則

a

，

b

的夾角為銳角的充要條件是

a

•

b

＞0，即1-2λ＞0，∴λ＜

1

2

，又λ=-2時，

a

與

b

同向，夾角為0，∴λ∈（-∞，-2）∪（-2，

1

2

），∴命題錯誤；
故答案為：①②

點評：本題通過命題真假的判定，考查了平面向量知識的綜合應用，是中檔題．