Question

已知函數f(x)=

1+ax2

x+b

(a≠0)是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3）
（1）求實數a，b的值；
（2）當x＞0時，求出函數f（x）的遞增區間，并用定義進行證明；
（3）求函數f（x）當x＞0時的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）+f（x）=0可求得b=0；又f（x）的圖象經過點（1，3），從而可求得a；
（2）當x＞0時，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上單調遞增，利用單調性的定義證明即可；
（3）可利用導數判斷f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

2

]上單調遞減，從而可確定函數f（x）當x＞0時的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

1+ax2

x+b

(a≠0)是奇函數，
∴f（-x）+f（x）=

1+a•(-x)2

-x+b

+

1+ax2

x+b

=（1+ax²）•

2b

(x+b)(-x+b)

=0，
∴b=0；
∴f（x）=

1+ax2

x

(a≠0)，又f（x）的圖象經過點（1，3），
∴

1+a

1

=3，
∴a=2；
∴f（x）=2x+

1

x

；
（2）當x＞0時，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上單調遞增．
證明：令

2

2

≤x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=2（x₂-x₁）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）（2-

1

x1•x2

），
∵

2

2

≤x₁＜x₂，
∴0＜

1

x1•x2

＜2，于是2-

1

x1•x2

＞0，
∴（x₂-x₁）（2-

1

x1•x2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴當x＞0時，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上單調遞增．
（3）∵f（x）=2x+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=2-

1

x2

，由f′（x）≥0可得x≥

2

2

，由f′（x）＜0可得0＜x＜

2

2

，
∴f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

2

]上單調遞減．
∴f（x）=2x+

1

x

在x=

2

2

處取到最小值2

2

，
∴當x＞0時f（x）=2x+

1

x

的值域為：[2

2

，+∞）．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，難點在于函數單調增區間的確定（導數法先判斷，再用定義證明），著重考查函數奇偶性與單調性的性質及其應用，綜合性強，屬于難題．