Question

如圖，圓與離心率為的橢圓（）相切于點.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)過點引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點、與點、（均不重合）.
(ⅰ)若為橢圓上任一點，記點到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
(ⅱ)若，求與的方程.

Answer 1

(Ⅰ)。
(Ⅱ) 的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為。

解析試題分析：(Ⅰ)由題意: 解得   2分
橢圓的方程為                            3分
(Ⅱ)（ⅰ）設因為⊥,則因為
所以            5分
因為 
所以當時取得最大值為，此時點        6分
（ⅱ）設的方程為,由解得
由   解得                    8分
同理可得，                  10分
所以，
，
由得解得        13分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為             14分
考點：本題主要考橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線橢圓的位置關系，圓的切線。
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）結合向量的坐標運算，確定得到k的方程，為進一步確定直線方程奠定基礎。