Question

已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2，n∈N^*）具有性質P：?i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i兩數中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數集{1，2，3，4}是否具有性質P，并說明理由；
（2）證明：a₁=0；
（3）證明：當n=5時，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差數列．

Answer 1

考點：等差數列的性質,集合的包含關系判斷及應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由4+4與4-4均不屬于數集{1，2，3，4}，可得該數集不具有性質P；
（2）可得a_n+a_n與a_n-a_n中至少有一個屬于A，而a_n+a_n∉A，只有a_n-a_n∈A，可得結論；
（3）當 n=5時，取j=5，當i≥2時，a_i+a₅＞a₅，由A具有性質P，結合等差數列的定義逐步可得．

解答： 證明：（1）∵4+4與4-4均不屬于數集{1，2，3，4}，∴該數集不具有性質P；
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，∴a_n+a_n與a_n-a_n中至少有一個屬于A，
又∵a_n+a_n＞a_n，∴a_n+a_n∉A，∴a_n-a_n∈A，即0∈A，
又a₁≥0，a₂＞0，∴a₁=0；
（3）當 n=5時，取j=5，當i≥2時，a_i+a₅＞a₅，
由A具有性質P，a₅-a_i∈A，又i=1時，a₅-a₁∈A，
∴a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，∴a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，
則a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，
從而可得a₂+a₄=a₅，a₅=2a₃，故a₂+a₄=2a₃，即0＜a₄-a₃=a₃-a₂＜a₃，
又∵a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，∴a₃+a₄∉A，則a₄-a₃∈A，則有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．
又∵a₅-a₄=a₂=a₂-a₁，∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=a₂，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首項為0，公差為a₂的等差數列．

點評：本題主要考查集合、等差數列的性質，考查運算能力、推理論證能力，屬中檔題．