Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

x，
（1）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的極值；
（2）不等式f(x)＞

x+t

x+2

（t∈N^*），當(dāng)x≥1時(shí)恒成立，求t的值；
（3）證明：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

Answer 1

分析：（1）由y=ln(x+1)-

1

2

x(x＞-1)，知y/=

1

x+1

-

1

2

=0⇒x=1，由此能求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的極值．（2）f(x)＞

x+t

x+2

⇒t＜(x+2)ln(x+1)-x，令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），則h/(x)=

x+2

x+1

+ln(x+1)-1=

1

x+1

+ln(x+1)＞0，由此能求出t的值．
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，由（1）知ln(1+x)＜

1

2

x+ln2-

1

2

，由（2）知ln(1+x)＞

x+1

x+2

，因?yàn)?span id="1z7nt7z" class="MathJye">f(2k3)-3f(k-1)=ln(1+

k3+1

k3

)，所以ln(1+

k3+1

k3

)＜

1

2k3

+ln2＜ln2+

1

2

[

1

k(k-1)(k+1)

]，由此能夠證明：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

解答：證明：（1）∵y=ln(x+1)-

1

2

x(x＞-1)，
∴y/=

1

x+1

-

1

2

=0⇒x=1，
且當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，y′＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0
所以，當(dāng)x=1時(shí)，y極大值=ln2-

1

2

（2）f(x)＞

x+t

x+2

⇒t＜(x+2)ln(x+1)-x，
令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），
則h/(x)=

x+2

x+1

+ln(x+1)-1=

1

x+1

+ln(x+1)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時(shí)，h（x）_min=3ln2-1，即t＜3ln2-1∈（0，2）
∴t=1．
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，由（1）知ln(1+x)＜

1

2

x+ln2-

1

2

，
由（2）知ln(1+x)＞

x+1

x+2

因?yàn)?span id="bn5tltz" class="MathJye">f(2k3)-3f(k-1)=ln(1+

k3+1

k3

)
所以當(dāng)k≥2時(shí)，ln(1+

k3+1

k3

)＜

1

2k3

+ln2＜ln2+

1

2

[

1

k(k-1)(k+1)

]＜ln2+

1

4

[

1

k(k-1)

-

1

k(k+1)

]，
∴

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

另一方面，ln(1+

k3+1

k3

)＞

2k3+1

3k3+1

＞

2

3

，
即

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＞

2

3

n
故：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．