Question

已知拋物線y²=8x，過(guò)M（2，3）作直線l交拋物線于A、B．
（1）求以M（2，3）為中點(diǎn)的弦AB所在直線l的方程．
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為N，求N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由題知l的斜率存在設(shè)斜率為且k≠0，根據(jù)

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2，又

y1+y2

2

=3，可得k=

y1-y2

x1-x2

的值，點(diǎn)斜式求得AB所在直線l的方程．
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀ ），由中點(diǎn)公式及 y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，求出l的斜率k=

4

y0

，再根據(jù)中點(diǎn)N（x₀，y₀）在直線l上，得到y(tǒng)₀²-4x₀-3y₀+8=0，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)為（2，0）滿足上述方程，從而得到中點(diǎn)N的軌跡方程為：y²-4x-3y+8=0．

解答：解：（1）由題知l的斜率存在設(shè)斜率為且k≠0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵A、B在y²=8x上，
∴

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2，又

y1+y2

2

=3，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），可得  k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

3

，
故AB所在直線l的方程為：y-3=

4

3

 （x-2），即  4x-3y+1=0． 
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀ ），A（x₁，y₁） B （x₂，y₂），∴x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線方程為：y-3=k（x-2），∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

y0

．
由N（x₀，y₀）在直線l上，∴y0-3=

4

y0

(x0-2)，即

y

2 0

-4x0-3y0+8=0，
又當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，中點(diǎn)為（2，0）滿足上述方程，
所以，所求中點(diǎn)N的軌跡方程為：y²-4x-3y+8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，軌跡方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出直線的斜率，是
解題的關(guān)鍵．