Question

已知：矩形AEFD的兩條對角線相交于點M（2，0），AE邊所在直線的方程為：x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（1）求矩形AEFD外接圓P的方程．
（2）△ABC是⊙P的內接三角形，其重心G的坐標是（1，1），求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質得到直線AD與直線AB垂直，因為兩直線垂直時斜率的乘積為-1，所以由直線AB的斜率得到直線AD的斜率，又直線AD過點N，由N的坐標和求出的直線AD的斜率寫出直線AD的方程，與直線AB的方程聯立即可求出點A的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出|AM|的長即為矩形外接圓的半徑，根據矩形的性質得到矩形外接圓的圓心即為點M，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可．
（2）連AG延長交BC于點N（x₀，y₀），則N點是BC中點，連MN，由G是△ABC的重心，可知

AG

=2

GN

，從而（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），即

x0= 3 2 y0= 5 2

，又M是圓心，N是BC中點，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，從而KBC=

1

5

，故可求直線BC的方程．

解答：解：（1）設A點坐標為（x，y）
∵KAE=

1

3

且 AE⊥AD，∴K_AD=-3又T（-1，1）在AD上，∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，∴

x=0 y=-2

即A點的坐標為（0，-2）
又∵M點是矩形AEFD兩條對角線的交點，∴M點（2，0）即為矩形AEFD外接圓的圓心，其半徑r=|MA|=2

2

∴⊙P的方程為（x-2）²+y²=8
（2）連AG延長交BC于點N（x₀，y₀），則N點是BC中點，連MN
∵G是△ABC的重心，∴

AG

=2

GN

，∴（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），∴

x0= 3 2 y0= 5 2

∵M是圓心，N是BC中點，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，∴KBC=

1

5

，∴y-

5

2

=

1

5

(x-

3

2

)即直線BC的方程為x-5y+11=0

點評：此題考查學生掌握矩形的性質及兩直線垂直時斜率的關系，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題．