Question

如圖，正四棱柱中，，點在上且．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角的大小為

依題設，，．
（Ⅰ）連結交于點，則．
由三垂線定理知，．························ 1分
在平面內，連結交于點，
由于，
故，，
與互余．
于是．……………………..2分
與平面內兩條相交直線都垂直，…………….3分
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，
故是二面角的平面角．·················· 5分
，
，．…………..6分
，．
又，…………. 7分．
．
所以二面角的大小為．················· 8分
解法二：
以為坐標原點，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標系．
依題設，．
，．·········· 2分
（Ⅰ）因為，，
故，．…………..3分
又，
所以平面．··························· 4分
（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則
，．
故，．
令，則，，．················· 6分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小為．……….   8分