Question

設f（x）為定義域為R的奇函數，且f（x+2）=-f（x），那么下列五個判斷
（1）f（x）的一個周期為T=4
（2）f（x）的圖象關于直線x=1對稱
（3）f（2010）=0
（4）f（2011）=0
（5）f（2012）=0
其中正確的個數有

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：（1）由f（x）是奇函數，f（x+2）=-f（x），知f（x+4）=f（x），即周期為4；由f（x）是奇函數，f（x+2）=-f（x），知f（x+2）=f（-x），由此能求出結果；（3）由f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），知f（2010）=f（0）=0；（4）由f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），f（2011）=f（3）≠0．（5））f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），f（2012）=f（0）=0．
解答：（1）∵f（x）是奇函數，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即周期為4，
故（1）正確．
（2）∵f（x）是奇函數，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+2）=f（-x），
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
故（2）正確．
（3）∵f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），
∴f（2010）=f（0）=0，故（3）正確
（4）∵f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），
∴f（2011）=f（3）≠0，故（4）不成立．
（5）∵f（x）是奇函數，f（x+4）=f（x），
∴f（2012）=f（0）=0，故（5）正確．
故選C．
點評：本題考查函數的周期的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．