Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對于任意的正整數n都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足：b1=

1

3

a1，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求證：數列{

1

bn

}是等差數列，并求數列{b_nb_n+1}的前n項和．

Answer 1

（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相減，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即

an+1

an

=

m

m+1

，
所以{a_n}是等比數列
（2）當n=1時，a₁=m+1-ma₁，
則a₁=1，
從而b₁=

1

3

，
由（1）知q=f（m）=

m

m+1

，
所以b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

（n≥2）
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，
∴數列{

1

bn

}是首項為

1

3

，公差為1的等差數列
∴

1

bn

=3+（n-1）=n+2，
故：bn=

1

n+2

    （n≥1），
∴{b_nb_n+1=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

；
∴數列{b_nb_n+1}的前n項和A=（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．