Question

設復數β=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應，且復數β滿足條件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*．常數a∈(

3

2

，3)），當n為奇數時，動點P（x，y）的軌跡為C₁，當n為偶數時，動點P（x，y）的軌跡為C₂，且兩條曲線都經過點D（2，

2

），求軌跡C₁與C₂的方程？

Answer 1

分析：當n為奇數時，原等式可變形為，|β+3|-|β-3|=2a，當n為偶數時，原等式可變形為|β+3|+|β-3|=4a，代入點的坐標后聯立兩軌跡方程求解a的值，則答案可求．

解答：解：方法1：①當n為奇數時，|β+3|-|β-3|=2a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)，
軌跡C₁為雙曲線，其方程為

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；
②當n為偶數時，|β+3|+|β-3|=4a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)，
軌跡C₂為橢圓，其方程為

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；
依題意得方程組

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

解得a²=3，
因為

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此時軌跡為C₁與C₂的方程分別是：

x2

3

-

y2

6

=1，

x2

12

+

y2

3

=1．
方法2：依題意得

|β+3|+|β-3|=4a |β+3|-|β-3|=2a

⇒

|β+3|=3a |β-3|=a

軌跡為C₁與C₂都經過點D(2，

2

)，且點D(2，

2

)對應的復數β=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，
即|β+3|-|β-3|=2

3

對應的軌跡C₁是雙曲線，方程為

x2

3

-

y2

6

=1；
|β+3|+|β-3|=4

3

對應的軌跡C₂是橢圓，方程為

x2

12

+

y2

3

=1．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了分類討論的數學思想方法，考查了方程組的解法，是中檔題．