Question

（2013•南通一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，F是

BC

的中點．求證：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

Answer 1

分析：（1）連接BE，利用同圓弧所對的圓周角相等，可得∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，即可得到△ABE∽△ADC，利用相似三角形的性質即可得出．
（2）連接OF，由F是

BC

的中點，可得∠BAF=∠CAF．再由（1）相似三角形的可得∠BAE=∠CAD，即可得出結論．

解答：證明：（1）連接BE，則∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，
∴△ABE∽△ADC，∴

AB

AD

=

AE

AC

．
∴AB•AC=AE•AD．
（2）連接OF，∵F是

BC

的中點，∴∠BAF=∠CAF．
由（1）得∠BAE=∠CAD，
∴∠FAE=∠FAD．

點評：熟練掌握同圓弧所對的圓周角相等，、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．