Question

 

（本題滿分14分）已知函數（），將的圖象向右平移兩個單位，得到函數的圖象，函數與函數的圖象關于直線對稱.

（1）求函數和的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；

（3）設，已知對任意的恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）， ……1分

設的圖像上一點，點關于的對稱點為，……2分

由點在的圖像上，所以，

于是  即.   ……4分

（2）設，，

得，即在上有且僅有一個實根  ……5分

設，對稱軸

①  ……6分   或    ②   ……7分

由①得 ，即，   ……8分

由②得  無解

   ……9分

（3）

由，化簡得，設，  

即對任意恒成立.   ……10分

解法一：設，對稱軸

則③  ……11分  或   ④    ……12分

由③得， 由④得，即或

綜上，.   ……14分

解法二：注意到，分離參數得對任意恒成立   ……11分

設，，即

   ……12分

可證在上單調遞增  ……13分

   

       ……14分

 

【解析】略