Question

（2012•長春一模）已知點A（-1，0），B（1，0），動點M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3，過點B的直線交曲線C于P、Q兩點．
（1）求|

AM

|+|

BM

|的值，并寫出曲線C的方程；
（2）求△APQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用余弦定理及|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3，可求得|

AM

|+|

BM

|為定值，利用橢圓的定義可推斷出點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，進而求得a和c，則b可求，從而求得橢圓的方程．
（2）設直線PQ方程與橢圓的方程聯(lián)立消去x，設出P，Q的坐標利用韋達定理進而求得（y₁-y₂）²的表達式，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得三角形面積的最大值．

解答：解：（1）由題意，|AM|=|

AM

|，|BM|=|

BM

|
設M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）²-2|AM|•|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）²-4|AM|•|BM|cos²θ=4
∵|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴|

AM

|+|

BM

|=4
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=2，c=1
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設直線PQ方程為x=my+1（m∈R）由 x=my+1與

x2

4

+

y2

3

=1，
消元可得：（3m²+4）y²+6my-9=0
顯然，方程①的△＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有S=

1

2

×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

∴（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×

3m2+3

(3m2+4)2

令t=3m²+3，則t≥3，（y₁-y₂）²=

48

t+ 1 t +2

由于函數(shù)y=t+

1

t

在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴t+

1

t

≥

10

3

故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值為3，此時直線PQ的方程為x=1

點評：本題考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理計算三角形的面積，利用函數(shù)的單調(diào)性確定最值，綜合性強．