Question

已知.

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程；（2）由求得，得令結(jié)合函數(shù)的定義域求解即可；（3）首先假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，分三種情況研究函數(shù)的單調(diào)性尋找其最小值,是對函數(shù)單調(diào)性的考查.

試題解析：（1）由已知得的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image012.png">，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image013.png">，所以當(dāng)時，，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image018.png">，所以                       2分

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即.                          4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image022.png">處有極值，所以，

由（1）知所以

經(jīng)檢驗(yàn)，時在處有極值.                         6分

所以令解得；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image011.png">的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image012.png">，所以的解集為，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為.                         8分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，

①當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121700050344815100/SYS201312170006265317141940_DA.files/image028.png">，

所以在上單調(diào)遞減，

，解得（舍去）                   10分

②當(dāng)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，滿足條件.                   12分

③當(dāng)，

所以 上單調(diào)遞減，，

解得，舍去.

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)有最小值3.              14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.切線方程；3.導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性；3.函數(shù)的最值.