Question

如圖，建立平面直角坐標系x0y，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．
已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮彈的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）若規定炮彈的射程不小于6千米，設在此條件下炮彈射出的最大高度為f（k），求f（k）的最小值．

Answer 1

分析：（1）在y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，求出x，利用基本不等式，即可求得炮的最大射程；
（2）利用配方法，求得炮彈射出的最大高度為f（k），根據炮彈的射程不小于6千米，確定k的范圍，即可求f（k）的最小值．

解答：解：（1）在y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得kx-

1

20

（1+k²）x²=0．-（2分）
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

=

20

1 k +k

≤

20

2

=10，當且僅當k=1時取等號．-------------------（5分）
∴炮的最大射程是10千米．------------------------------------------------（6分）
（2）∵炮彈的射程不小于6千米，∴

20k

1+k2

≥6
∴

1

3

≤k≤3----------------------------------（8分）
y=kx-

1

20

（1+k²）x²=-

1

20

(1+k2)(x-

10k

1+k2

)2+

5k2

(1+k2)2

∴f（k）=

5k2

(1+k2)2

（

1

3

≤k≤3）-----------------------（10分）
∴f（k）=5（1-

1

1+k2

）（

1

3

≤k≤3）--------（11分）
又f（k）在[

1

3

，3]上單調遞增---------------（12分）
∴f（k）的最小值為

1

2

-----------------------------------------------（14分）

點評：本題考查函數模型的運用，考查基本不等式，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．