Question

【題目】如圖，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB＝BC＝2，∠BAD＝60°，點G、H分別為線段CD、DA的中點，M為BE上的動點．

（Ⅰ）求證：GH⊥DM；

（Ⅱ）當三棱錐D﹣MGH的體積最大時，求三角形MGH的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由BE⊥AC，BD⊥AC得到AC⊥平面BDE，再由GH∥AC，得到GH⊥平面BDE，故得證.

（Ⅱ）由于BM⊥平面ABCD，故，當點M與點E重合時，BM取得最大值，故（VD﹣MGH）max，即得解.

（Ⅰ）證明：連接AC、BD相交于點O．

∵BE⊥平面ABCD．而AC平面ABCD，∴BE⊥AC．

又∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC．

∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面BDE．

∵G、H分別為DC、AD的中點，

∴GH∥AC，則GH⊥平面BDE．

而DM平面BDE，∴GH⊥DM．

（II）解：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，得，∠ADC＝120°．

∵DG＝DH＝1，

∴S△DGH═，

∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，

∴BM．

當點M與點E重合時，BM取得最大值2，此時（VD﹣MGH）max．

且MG＝MH，GH，則S△MGH