Question

如圖，已知點A（0，-3），動點P滿足|PA|=2|PO|，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程．
（Ⅱ）記（Ⅰ）中所得的曲線為C．過原點O作兩條直線l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分別交曲線C于點E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求證：；
（III）對于（Ⅱ）中的E、F、G、H，設EH交x軸于點Q，GF交x軸于點R．求證：|OQ|=|OR|．（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

【答案】分析：（1）設點P的坐標為（x，y），進而表示出|PA|和|PO|，根據|PA|=2|PO|，求的點P的軌跡方程．
（2）將直線EF和GH的方程分別代入圓C方程，利用韋達定理分別求得交點橫坐標之和與之積，進而代入，證明原式．
（3）設點Q（q，0），點Q（r，0），由E、Q、H三點共線求得q的表達式，根據F、R、G三點共線求得r的表達式，進而根據（2）中的
整理得，進而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y），依題意可得
整理得x²+y²-2y-3=0
故動點P的軌跡方程為x²+y²-2y-3=0．
（Ⅱ）將直線EF的方程y=k₁x代入圓C方程
整理得（k₁²+1）x²-2k₁x-3=0
根據根與系數的關系得，①
將直線GH的方程y=k₂x代入圓C方程，
同理可得，②
由①、②可得，所以結論成立．
（Ⅲ）設點Q（q，0），點Q（r，0），由E、Q、H三點共線
得，解得
由F、R、G三點共線
同理可得
由變形得
即，
從而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
點評：本題主要考查了圓方程得綜合應用．涉及直線與圓的關系常需要把直線方程與圓方程聯立，利用韋達定理來解決問題．