Question

（04年浙江卷文）（12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是線段EF的中點。

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A―DF―B的大小；

Answer 1

解析: 方法一(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,

   ∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A―DF―B的大小為60º。

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ。

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，

∴

又∵ΔPAF為直角三角形，

∴，

∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點。

方法二

   （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。

    設，連接NE，

 則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,

    ∴NE=(,

    又點A、M的坐標分別是

  （）、（

  ∴ AM=（

∴NE=AM且NE與AM不共線，

∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴為平面DAF的法向量。

∵NE?DB=（?=0，

∴NE?NF=（?=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE為平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB與NE的夾角是60º。

即所求二面角A―DF―B的大小是60º。

（Ⅲ）

設P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º。

∴

解得或（舍去），

即點P是AC的中點。