Question

已知橢圓:的左焦點為,且過點.

(1)求橢圓的方程;
(2)設過點P(-2,0)的直線與橢圓E交于A、B兩點，且滿足.
①若,求的值;
②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點，證明:

Answer 1

(1)  ;(2)參考解析

試題分析：(1)因為由橢圓:的左焦點為,即.由點到兩焦點的距離和可求出橢圓的長軸.從而可以求出橢圓的方程.
(2)（1）通過假設直線的方程聯立橢圓方程消去y可得一個一元二次方程，由韋達定理即可求出直線的斜率k的值，從而解出A,B兩點的坐標，即可得結論.（2）分別求兩直線的斜率和，利用韋達定理得到的關系式即可證明斜率和為零.即可得到結論.
試題解析：(1)因為焦點為， C=1，又橢圓過，
取橢圓的右焦點，，由得，
所以橢圓E的方程為 
（2）①設,,

顯然直線斜率存在,設直線方程為 
由得: 
得,,
,, 
,符合,由對稱性不妨設,
解得, 
②若,則直線的方程為,
將代入得, 不滿足題意,同理 
,,