Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M,N分別是AB,AC的中點,G是DF上的一動點.

(1)求該多面體的體積與表面積;
(2)求證:GN⊥AC;
(3)當FG=GD時,在棱AD上確定一點P,使得GP∥平面FMC,并給出證明.

Answer 1

（1）(3+)a²  （2）見解析  （3）見解析

解:(1)由題中圖可知該多面體為直三棱柱,
在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,
所以該多面體的體積為a³,
表面積為a²×2+a²+a²+a²=(3+)a².

(2)連接DB,FN,
由四邊形ABCD為正方形,
且N為AC的中點知B,N,D三點共線,且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD,
∴FD⊥AC.
又DN∩FD=D,
∴AC⊥平面FDN,
又GN?平面FDN,
∴GN⊥AC.
(3)點P與點A重合時,GP∥平面FMC.
取FC的中點H,連接GH,GA,MH.
∵G是DF的中點,∴GHCD.
又M是AB的中點,∴AMCD.
∴GH∥AM且GH=AM,
∴四邊形GHMA是平行四邊形.
∴GA∥MH.
∵MH?平面FMC,GA?平面FMC,
∴GA∥平面FMC,即當點P與點A重合時,GP∥平面FMC.