Question

過點P（

10

2

，0）作傾斜角為α的直線l與曲線C：x²+2y²=1交于不同的兩點M，N，求|PM|•|PN|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：設出直線的參數方程，把直線的參數方程代入橢圓方程，由于直線與橢圓相交兩點，可得△＞0，得出sinα的取值范圍，再利用參數的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3 2

1+sin2α

即可．

解答： 解：設直線l的參數方程為

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

t為參數）．
把直線的參數方程代入橢圓方程x²+2y²=1，整理得）
代入曲線C的方程并整理得(1+sin2α)t2+ 

10

 tcosα+

3

2

=0
設兩點M，N所對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁t₂=

3 2

1+sin2α

則|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3 2

1+sin2α

由△=(

10

cosα)2-4(1+sin2α)×

3

2

＞0
得0≤sinα＜

1

2

，
所以|PM|•|PN|的取值范圍是（

6

5

，

3

2

]．

點評：本題考查了直線的參數方程及其幾何意義、三角函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．