Question

本題14分）已知動圓過點，且與圓相內切.
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，，與雙曲線 交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.
∵，
∴點在圓內.                                                   
設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
即.                                              
∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為
, 則.
∴.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.                          
(2) 由 消去化簡整理得：.
設，，則.
△. ①                             
由 消去化簡整理得：.
設，則,
△. ②                         
∵，
∴，即，
∴.
∴或.
解得或.                                                                    
當時,由①、②得 ，
∵Z,
∴的值為 ，，;
當，由①、②得 ，
∵Z,
∴.
∴滿足條件的直線共有9條．         

略