Question

已知函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₄的值為（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2014

  2015

• C、

  2012

  2013

• D、

  2013

  2014

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：利用導數的幾何意義賕 出f（x）=x²+x，從而得到a_n=

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：∵f（x）=x²+bx，∴f′（x）=2x+b
∵直線3x-y+2=0的斜率為k=3，
函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x²+x，
∴a_n=

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴S₂₀₁₄=

2014

2015

．
故選：B．

點評：本題考查數列的前2014項的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數的幾何意義和裂項求和法的合理運用．