Question

某大學高等數學老師上學期分別采用了A，B兩種不同的教學方式對甲、乙兩個大一新生班進行教改試驗（兩個班人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）．現隨機抽取甲、乙兩班各20名同學的上學期數學期末考試成績，得到莖葉圖如圖：
（Ⅰ）從乙班這20名同學中隨機抽取兩名高等數學成績不得低于85分的同學，求成績為90分的同學被抽中的概率；
（Ⅱ）學校規定：成績不低于85分的為優秀，請填寫下面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”

	甲班	乙班	合計
優秀
不優秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）
（Ⅲ）從乙班高等數學成績不低于85分的同學中抽取2人，成績不低于90分的同學得獎金100元，否則得獎金50元，記ξ為這2人所得的總獎金，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由莖葉圖可知：乙班成績不低于85分的同學共10人，其中成績為90分的同學恰有1人，由古典概型易得所求概率；
（2）由莖葉圖可得表格，計算可得K²的近似值，結合參考數值可得結論；
（3）由題意可得ξ的可能值為100，150，200，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數學期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知：乙班這20名同學中高等數學成績不低于85分的同學共10人，
其中成績為90分的同學恰有1人，
故從中隨機抽取2人，成績為90分的同學被抽中的概率為：P=

C 1 1 C 1 9

C 2 10

=

1

5

；
（2）由莖葉圖可得：

	甲班	乙班	合計
優秀	3	10	13
不優秀	17	10	27
合計	20	20	40

計算可得K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

40(3×10-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024，
故在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關
（3）由題意可得ξ的可能值為100，150，200，
則P（ξ=100）=

C 2 5

C 2 10

=

2

9

，P（ξ=150）=

C 1 5 C 1 5

C 2 10

=

5

9

，P（ξ=200）=

C 2 5

C 2 10

=

2

9

，
故ξ的分布列為：

ξ	100	150	200
P	2 9	5 9	2 9

∴Eξ=100×

2

9

+150×

5

9

+200×

2

9

=150（元）

點評：本題考查莖葉圖，概率分布列和數學期望，以及獨立性檢驗，屬中檔題．