Question

【題目】已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.

(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到坐標原點O的距離相等，求Q點的坐標；

(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求證：直線AB過定點.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）設點(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)，聯立y2＝4x，則Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，則切點分別為A，B，所以A，B，F三點共線，AB過點F(1，0)。

試題解析：

(1)設Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，

由解得Q.

(2)設過點(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，

由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，

特別地，當t＝0時，k＝±1，切點為A(1，2)，B(1，－2)，顯然AB過定點F(1，0).

一般地方程k2＋kt－1＝0有兩個根，

∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，

∴兩切點分別為A，B，

∴＝，＝，

又－＝2＝0，

∴與共線，又與有共同的起點F，

∴A，B，F三點共線，∴AB過點F(1，0)，

綜上，直線AB過定點F(1，0).