Question

設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．

   （1）求橢圓的離心率；

   （2）若過、、三點的圓恰好與直線

：相切，求橢圓的方程;

   （3）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）

【解析】（Ⅰ）解：設Q（x₀，0），由（c，0）,A（0，b）

    知

      ，………2分

    由于 即為中點．

    故

    故橢圓的離心率        …………………4分

    （Ⅱ）由⑴知得于是（，0） Q，

    △AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=

    所以，解得=2，∴c =1，b=，

    所求橢圓方程為         …………………8分

    （III）由（Ⅱ）知

    ：

       代入得…………………9分

    設，

    則，     ……………10分

   

    由于菱形對角線垂直，則      

    故則

    由已知條件知且

                           ………………12分

  故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．…………………13分