Question

甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成，其空間構型為一個各條棱都相等的四面體，四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點上，碳原子位于該四面體的中心，它與每個氫原子的距離都是a，若將碳原子和氫原子均視為一個點，則任意兩個氫原子之間的距離為

 

．

Answer 1

分析：由題意立即聯(lián)想到正四面體的外接球，而正四面體又可以看作是正方體的六條面對角線圍成的圖形，因此，將正四面體補成一個正方體，從而建立相關量之間的關系．

解答：解：顯然，四面體的四個頂點在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點（氫原子）的距離為半徑的球面上，
如圖，將此正四面體ABCD補成正方體BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
設任意兩個氫原子之間的距離為x，則2a=BD′．
 BD′、AB（x）、AA′之間的關系是x=AB=

2

AA′，2a=BD'=

3

AA′，
 因此

2

2

x=

2 3

3

a，∴x=

2 6

3

a，即兩個個氫原子的距離

2 6

3

a．
故答案為：

2 6

3

a

點評：在立體幾何中，我們常常將四面體補成正四面體或平行六面體、正四面體補成正方體、過同一個頂點的三條棱兩兩垂直的四面體補成長方體、四棱錐補成平行六面體，等等，掌握這些補形規(guī)律，有助于提高解題能力．