Question

（本大題共2個小題，任選一題作答，若做兩題，則按所做的第（1）題給分，共5分）
（1）曲線ρ=2cosθ關(guān)于直線θ=

π

4

對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為

ρ=2sinθ．

（2）（不等式選講）在區(qū)間[t，t+1]上滿足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一個，則實數(shù)t的取值范圍為

（0，

3

-1）

．

Answer 1

分析：（1）先將原極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合曲線關(guān)于直線的對稱性，利用直角坐標(biāo)方程解決問題．
（2）先在R上求解不等式|x³-3x+1|≥1，然后根據(jù)不等式的解集確定“在區(qū)間[t，t+1]上滿足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一個”t的范圍．

解答：解：（1）解：將原極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，化為：
ρ2=2ρcosθ，
化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x=0，
它關(guān)于直線y=x（即θ=

π

4

）對稱的圓的方程是
x²+y²-2y=0，其極坐標(biāo)方程為：ρ=2sinθ
故答案為：ρ=2sinθ．
（2）由不等式|x³-3x+1|≥1，得出x³-3x+1≥1①或x³-3x+1≤-1②，
解①得-

3

≤x≤0或x≥

3

解②得解②得x≤-2或x=1
∴不等式|x³-3x+1|≥1的解集為{x|x≤-2或-

3

≤x≤0或x≥

3

 或x=1}
∵在區(qū)間[t，t+1]上滿足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一個
∴0＜t＜

3

-1
故答案為：（0，

3

-1）

點評：（1）本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得
（2）本題考查絕對值不等式的解法，過程中應(yīng)用了因式分解求解不等式，增加了題目的難度．