Question

在△ABC中，a²+b²=dc²，且

1

tanC

=1005(

1

tanA

+

1

tanB

)，則常數d的值等于

2011

．

Answer 1

分析：將已知第二個等式右邊括號中通分并利用同分母分式的加法法則計算，利用同角三角函數間的基本關系切化弦，整理后利用誘導公式變形，再利用正弦定理化簡，并利用余弦定理表示出cosC，代入化簡后的式子中，整理后與已知的第一個等式比較，即可求出常數d的值．

解答：解：∵

1

tanC

=1005（

1

tanA

+

1

tanB

）=1005•

tanA+tanB

tanAtanB

，
∴1005•tanC=

tanAtanB

tanA+tanB

，
∴

sinAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=1005•

sinC

cosC

，
即sinAsinBcosC=1005sin（A+B）sinC=1005sin²C，
利用正弦定理化簡得：abcosC=1005c²，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴a²+b²-c²=2010c²，即a²+b²=2011c²，又a²+b²=dc²，
則d=2011．
故答案為：2011

點評：此題考查了正弦、余弦定理，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．