Question

數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一個實數t，使得（n∈Z⁺），{b_n}為等差數列．有，則求出t，并予以證明；沒有，則說明理由；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．先由95=3a₂+3³-1，求出a₂=23．再由23=3a₁+3²-1，求出a₁=5．
（2）為等差數列，必須，，成等差數列，得． 由此能夠證明當時，{b_n}是公差為1的等差數列．
（3），． 由．由此能求出．
解答：解：（1）∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
∴95=3a₂+3³-1，
解得a₂=23．
23=3a₁+3²-1，
解得a₁=5．
∴a₁=5，a₂=23． （2分）
（2）為等差數列，必須，，成等差數列，
得． （5分），
即，當n=1，2，3成等差．
下證此時b_n對一切n∈Z⁺定成等差數列．
∴當時，{b_n}是公差為1的等差數列． （8分）
（3），
∴． （10分）
由（12分）
 記
得：
錯位相減，得． （16分）
點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的靈活運用．