Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1）平面內兩點G、M同時滿足①++=0,②||=||=||，③∥.

(1)求頂點C的軌跡E的方程；

(2)設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為（2，0），已知∥，∥且·=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

Answer 1

解析：(1)設C（x,y）,

∵+=2,由①知=-2，

∴G為△ABC的重心，

∴G().

由②知M是△ABC的外心，

∴M在x軸上.

由③知M（，0），

由||=||,

得，

化簡整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰為+y²=1的右焦點,

設PQ的斜率為k≠0且k≠±,則直線PQ的方程為y=k(x-),

由(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.

設P（x₁,x₂）,Q(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁∶x₂=.則|PQ|=

.

∵RN⊥PQ,把k換成-得|RN|=,

∴S=|PQ|·|RN|=,

∴3(k²+)+10=.

∵k²+≥2,

∴≥16,

∴≤S＜2(當k=±1時取等號).

又當k不存在或k=0時S=2，

綜上可得≤S≤2,

∴S_max=2,S_min=.