Question

已知一個函數的解析式為y=x²，它的值域是{1，4}．
（1）研究此函數的定義域的所有可能情況（每一種可能情況用一個集合表示）；
（2）將函數定義域中各元素之和記為S，試求S=3k+1（k∈Z）的概率．

Answer 1

分析：（1）由已知令y=x²=1或4，則函數的定義域中至少要有1或-1且至少要有2或-2，故可得函數的定義域有9種可能情況；
（2）在（1）中，各個集合中元素的和分別為3；-1；1；-3；2；-2；1；-1；0．由于S=3k+1（k∈Z）的有3種情況：S=1，S=-2，S=1，故可得P(A)=

3

9

=

1

3

．

解答：解：（1）y=x²=1，則x=±1，y=x²=4，則x=±2，
∴函數的定義域中至少要有1或-1且至少要有2或-2．…（2分）
∴函數的定義域有9種可能情況：{1，2}；{1，-2}；{-1，2}；{-1，-2}；
{1，-1，2}；{1，-1，-2}；{1，-2，2}；{-1，-2，2}；
{1，-1，-2，2}．…（7分）
（2）在（1）中，各個集合中元素的和分別為3；-1；1；-3；2；-2；1；-1；0．
記“定義域中各元素之和S=3k+1（k∈Z）”為事件A，
因為S=3k+1（k∈Z）的有3種情況：S=1，S=-2，S=1．…（10分）
∴P(A)=

3

9

=

1

3

．…（13分）
∴函數定義域中各元素之和S=3k+1（k∈Z）的概率為

1

3

．…（14分）

點評：本題考查函數的定義域和值域定義，以及古典概型及其計算公式．屬中檔題