Question

某校高一年級數學興趣小組的同學經過研究，證明了以下兩個結論是完全正確的：①若函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，則函數y=f（x+a）-b是奇函數；②若函數y=f（x+a）-b是奇函數，則函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形．請你利用他們的研究成果完成下列問題：
（1）將函數g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，求此時圖象對應的函數解釋式，并利用已知條件中的結論求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數h(x)=log2

1-x

4x

圖象對稱中心的坐標，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖象變換法則，即可得到函數平移以后的解析式，化簡可知函數為奇函數，根據已知的結論②，即可得到函數g（x）圖象的對稱中心；
（2）根據題中的結論，要求函數h（x）的對稱中心，設y=h（x+a）-b為奇函數，根據奇函數的定義，即可求得a和b的值，從而得到h（x）圖形的對稱中心．

解答：解：（1）∵函數g（x）=x³+6x²的圖象向右平移2個單位，再向下平移16個單位，
∴平移后的函數為y=（x-2）³+6（x-2）-16，即y=x³，
∵y=x³為奇函數，
∴y=g（x-2）-16為奇函數，
根據若函數y=f（x+a）-b是奇函數，則函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形，
故函數g（x）圖象對稱中心的坐標為（-2，16）；
（2）設y=h(x+a)-b=log2

1-(x+a)

4(x+a)

-b=log2

1-a-x

4x+4a

-b是奇函數，
則log2

1-a-x

4x+4a

-b+(log2

1-a+x

-4x+4a

-b)=0，
即log2(

1-a-x

4x+4a

•

1-a+x

-4x+4a

)-2b=0，即log2

(1-a)2-x2

16a2-16x2

-2b=0，
∴

(1-a)2-x2

16a2-16x2

=22b，
化簡可得（1-a）²-x²=2^2b（16a²-16x²），
即（16•2^2b-1）x²+（1-a）²-2^2b•16a²=0，
由x的任意性，可得16•2^2b-1=0，且（1-a）²-2^2b•16a²=0，
解得b=-2，a=

1

2

，
根據題意可知，函數h（x）圖象對稱中心的坐標為(

1

2

，-2)．

點評：本題考查了函數的性質，主要是屬于新定義的問題，根據題中所給出的信息，分析并運用進行求解，解題的關鍵是審清題意，弄清題中所給的條件．屬于中檔題．