Question

【題目】在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內切球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出圖形，利用菱形對角線相互垂直的性質得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱錐B﹣ACD為正四面體，可得出內切球的半徑R，再利用球體的表面積公式可得出答案．

如下圖所示，

易知△ABC和△ACD都是等邊三角形，取AC的中點N，則DN⊥AC，BN⊥AC．

所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，過點B作BO⊥DN交DN于點O，可得BO⊥平面ACD．

因為在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BNDNcos∠BND，

則BD＝2．

故三棱錐A﹣BCD為正四面體，則其內切球半徑為正四面體高的，又正四面體的高為棱長的，故．

因此，三棱錐A﹣BCD的內切球的表面積為．

故選：C．