Question

【題目】關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可變形為

（ax﹣2）（x+1）≥0，

且該不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），

∴a＞0；

又不等式對應方程的兩個實數根為﹣1和2；

∴ =2，解得a=1；

（2）解：①a=0時，不等式可化為﹣2x﹣2≥0，它的解集為{x|x≤﹣1}；

②a≠0時，不等式可化為（ax﹣2）（x+1）≥0，

當a＞0時，原不等式化為（x﹣ ）（x+1）≥0，

它對應的方程的兩個實數根為 和﹣1，且 ＞﹣1，

∴不等式的解集為{x|x≥ 或x≤﹣1}；

當a＜0時，不等式化為（x﹣ ）（x+1）≤0，

不等式對應方程的兩個實數根為 和﹣1，

在﹣2＜a＜0時， ＜﹣1，

∴不等式的解集為{x| ≤x≤﹣1}；

在a=﹣2時， =﹣1，不等式的解集為{x|x=﹣1}；

在a＜﹣2時， ＞﹣1，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤ }．

綜上，a=0時，不等式的解集為{x|x≤﹣1}，

a＞0時，不等式的解集為{x|x≥ 或x≤﹣1}，

﹣2＜a＜0時，不等式的解集為{x| ≤x≤﹣1}，

a=﹣2時，不等式的解集為{x|x=﹣1}，

a＜﹣2時，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤ }．

【解析】（1）根據一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系，即可求出a的值；（2）討論a的取值，求出對應不等式的解集即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，以及對解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊．