Question

下列四個命題中
①?x∈R，2x²-x+1＞0；
②“x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充要條件；
③函數y=

x2+2

+

1

x2+2

的最小值為2
其中假命題的為

 

（將你認為是假命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據二次不等式的解法，我們易判斷①的真假；根據充要條件的定義，我們易判斷②的對錯；利用換元法，結合“對勾”函數的單調性，我們易判斷③的正誤，進而得到答案．

解答：解：∵2x²-x+1=2（x-

1

4

）²+

7

8

＞0恒成立
故①?x∈R，2x²-x+1＞0為真命題；
若“x＞1且y＞2”成立，由不等式的性質，我們易得：“x+y＞3”
但“x+y＞3”時，“x＞1且y＞2”卻不一定成立
故“x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要條件，故②錯誤；
令t=

x2+2

（t≥2）
則原函數可化為y=t+

1

t

（t≥2）
由函數y=t+

1

t

的單調性易知，[2，+∞）為函數的單調遞增區間
故當t=2時，y有最小值

5

2

，故③錯誤．
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中利用不等式的解法，充要條件的定義，函數的單調性，分別判斷三個命題的真假是解答的關鍵．