Question

（本小題滿分13分）
平地上有一條水渠，其橫斷面是一段拋物線弧，如圖，已知渠寬為，渠深為6。

（1）若渠中水深為4，求水面的寬，并計算水渠橫斷面上的過水面積；
（2）為了增大水渠的過水量，現要把這條水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬。

Answer 1

解：(1)水渠橫斷面過水面積為;
（2）設計改挖后的水渠的底寬為時，可使所挖土的土方量最少。

本試題以圓錐曲線為背景，結合了定積分的幾何意義，表示曲邊梯形的面積的，以及直線與拋物線相切的相關知識的綜合愚弄。
（1）利用建立直角坐標系，然后設出方程和點的坐標，結合定積分的幾何意義表示出面積。
（2）分析為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，則需要結合導數的幾何意義來表示得到切線方程，從而表示梯形面積，求解得到最值。
解：(1)建立如圖的坐標系,設拋物線的方程為,由已知在拋物線上,得,∴拋物線的方程為，令，得，即水面寬為8（）。
∴水渠橫斷面過水面積為
（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，如圖，

設切點，則函數在點的切線方程為
令，得；
∴此時梯形OABC的面積為
∵，
當且僅當時，等號成立，此時
∴設計改挖后的水渠的底寬為時，可使所挖土的土方量最少。