Question

【題目】過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）拋物線上一點，直線（其中）與拋物線交于，兩個不同的點（，均不與點重合）.設直線，的斜率分別為，，.直線是否過定點？如果是，請求出所有定點；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線恒過定點，定點為.

【解析】

（Ⅰ）假設直線方程，聯立直線方程與拋物線方程，根據韋達定理以及拋物線的焦點弦性質，可得結果.

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論可得，然后聯立直線與拋物線的方程，結合韋達定理，利用，可得之間的關系，最后根據直線方程特點，可得結果.

（Ⅰ）由題意得：

設直線方程為：

代入拋物線方程得：

設，

∴

∴，

解得：

∴拋物線方程為：

（Ⅱ）由（1）知：拋物線

∴，設，

由得：，

則

∵ ∴，

∴

即：

∴，解得

當時，

∴，

恒過定點

∴直線恒過定點